Полиномиальные функторы

Полиномиальные функторы vs строго полиномиальные функторы

Есть два таких понятия, которые возникают и в алгебраической топологии, и в теории представлений. Понятия, которые в какой-то степени противоборствуют друг с другом. Во всяком случае, по моим субъективным ощущениям. Кто-то скажет, что они дополняют друг друга. И тоже будет прав, конечно. Есть работы, посвященные взаимосвязи этих понятий, которые очень интересны.

Строго полиномиальные не являются частным случаем полиномиальных. Можно считать, что строго полиномиальные это полиномиальные с дополнительной структурой. Но можно думать о строго полиномиальных и не зная определения полиномиальных вообще, как многие и делают. У меня внутри эти понятия противопоставлены ещё и потому, что за ними стоят бОльшие противопоставленные области. За полиномиальными функторами стоит алгебраическая топология, симплициальные производные функторы, Дольд-Пуппе, Кан, Бауэсс и т.п. За строго полиномиальными стоит теория представлений, алгебра Шура, Суслин, Фриедландер, полиномиальные представления GL_n и тому подобное.

Хотя первым понятие строго полиномиального функтора придумал Боусфилд в 1967 (он называл их однородными), и у него всё как раз органично сочеталось. А потом 30 лет спустя их заново независимо от него придумали Суслин и Фриедландер, вызвали бурный интерес к ним, и всё как-то разошлось, по моим впечатлениям.

Разница между этими понятиями сводится к простому примеру. Пусть R коммутативное кольцо. Как нам следует мыслить полиномиальные отображения из R в себя? Можно их мыслить, как отображения, удовлетворяющие некоторому свойству (например, квадратичные отображения должны удовлетворять тому, что отображение
f(x+y)-f(x)-f(y) билинейно), а можно как просто как кольцо многочленов R[x]. Например, если R=Z Дальше возникает вопрос, как нам мыслить полиномиальные отображения между модулями над R? Если мы обобщаем первый взгляд (через отображения), то в итоге приходим к полиномиальным функторам, а если второй (через многочлены, а точнее симметрические алгебры), то к строго полиномиальным.

====================
Полиномиальные функторы.

Пусть СС аддитивная категория и DD абелева категория. Пусть
F: CC > DD
функтор такой, что F(0)=0. Его (второй) скрещенный эффект это бифунктор
F( | ) :CC x CC > DD
определяется как ядро
F(A | B):=Ker(F(AB) > F(A) F(B)).
Если функтор F аддитивный, то F(A | B)=0.
Легко проверить, что последовательность
F(A|B) >–> F(AB) F(A) F(B)
расщепляется и получается изоморфизм
F(AB)=F(A)F(B)F(A|B).
Функтор называется квадратичным, если бифунктор F(A|B) билинейный. То есть аддитивный по каждой компоненте.

Если у вас категории СС и DD являются R-линейными категориями, то надо, конечно, добавить, что функтор F(A|B) R-линейный по каждой компоненте.

Тройной скрещенный эффект определяется как ядро
F(A|B|C)=Ker(F(ABC) > F(AB)F(AC) F(BC)).
Тогда есть естественное разложение F(ABC) в прямую сумму таких слагаемых:
F(A),F(B),F(C),
F(A|B), F(A|C),F(B|C),
F(A|B|C).
Функтор называется (не более чем) кубическим, если
F(A|B|C) 3-линейный функтор.

Если функтор квадратичный, то F(A|B|C)=0. И это эквивалентное определение квадратичности (если у нас аддитивные категории, а не R-линейные).

Ну и так далее можно определить полиномиальные функторы степени (не больше чем) n.

===================
Примеры полиномиальных функторов.

Вот пример квадратичного функтора из категории абелевых групп в себя:
A AA.
Он называется тензорным квадратом.

Вот ещё один:
A S²(A)=AA
Он называется симметрическим квадратом.

Еще есть внешний квадрат:
A Λ²(A)=AA/

И вот ещё один пример:
A I(A)/I(A)³,
где I(A) обозначает аугментационный идеал группового кольца ℤ[A].
Он называется квадратичным функтором Пасси.

Ещё один важный пример называется функтором разделённого квадрата и обозначается Г²(A).

Категория функторов степени n замкнута относительно подфункторов, фактор функторов, прямых сумм и расширений. В частности, является подкатегорией Серра в категории всех функторов.

====================
Строго полиномиальные функторы на векторных пространствах

В начале для понятности пусть всё будет над полем K. Чтобы хорошо задать всё над произвольным коммутативным кольцом, понадобится понятие разделённой степени категории, которую я введу пониже.

В алгебраической геометрии мы заменяем n-мерное пространство K^n на аффинное пространство
Spec(K[x_1,…,x_n]).
Если хочется безкоординатно всё делать, то надо векторное пространство V заменять на спектр симметрической алгебры двойственного пространства
V Spec(S(V*)).
Полиномиальными законами между конечномерными векторными пространствами V и U назовём элементы хома в категории схем над K

Poly(V,U)=Hom( Spec(S(V*) ) , Spec(S(U*)))

его можно переписать как хом в категории алгебр:
=Hom(S(U*),S(V*))
и как хом в категории векторных пространств
=Hom(U* , S(V*))
и как тензорное произведение
=S(V*) U.
Он раскладывается в прямую сумму полиномиальных законов степени n:
Poly_n(V,U) = S^n(V*) U

Заметим, что
Poly(K,K)=K[x],
даже если K=Z То есть полиномиальные законы это не отображения.

В категории векторных пространств все хомы это тоже векторные пространства. А теперь давайте скажем, что мы хотим, чтобы хомы были не векторными пространствами, а схемами. Заменим эти векторные пространства на схемы над K, по выше определённому правилу
HOM(U,V)= Spec( S(Hom(U,V)*) ).
Таким образом, мы получили, структуру обогащенной категории над схемами на категории векторных пространств.

Строго полиномиальный функтор
F : Vect > Vect
это обогащённый функтор над схемами. То есть вместо того, чтобы задавать отображения на обычных хомах
Hom(V,U) > Hom(F(V),F(U))
мы задаём морфизмы в категории схем
HOM(V,U) > HOM(F(V), F(U))
с кучей всяких коммутативных диаграмм, как в общем определении обогащенного функтора над симметрической моноидальной категорией.

Можно и не говорить слово “схема” лишний раз и сказать, что мы обогащаем всё над категорией векторных пространств с полиномиальными законами в качестве морфизмов, определив их как гомоморфизмы алгебр в обратную сторону
Poly(V,U) = Hom_{Alg}(S(U*),S(V*)).

Таким образом, строго полиномиальный функтор для каждой пары векторных пространств задаёт полиномиальный закон из
Poly( Hom(V,U) , Hom(F(V),F(U)) ).
Он называется строго полиномиальным функтором степени (или веса) n, если это полиномиальный закон степени n
Poly_n( Hom(V,U) , Hom(F(V),F(U)) ).

=============================
Разделённая степень категории.

Над полем функтор разделённой степени определить просто:
Г^n(V) инварианты действия симметрической группы на тензорной степени
V … V.
Она двойственна симметрической степени в следующем смысле:
S^n(V*)=Г^n(V)*.
Поэтому
Poly_n(V,U)=Hom(Г^n(V),U).
Оказывается, что именно эта версия определения полиномиального закона степени n наиболее удобна для обобщений на произвольные коммутативные кольца. Но тут надо грамотно определять Г^n, там она уже не вкладывается во внешнюю степень.

(На проективных его надо определять как обычно: инварианты в тензорной степени, а на всех можно определить, как нулевой производный функтор в смысле Дольда-Пуппе от этого. Но есть и более человеческое определение, которое объясняет название)

Таким образом, строго полиномиальный функтор степени n на векторных пространствах задаёт линейное отображение
Г^n(Hom(V,U)) > Hom(F(V),F(U)).
Оказывается, что можно определить новую категорию
Г^n(Vect)
такую, что строго полиномиальный функтор степени n можно эквивалентно определить как обычный K-линейный функтор
Г^n(Vect) > Vect.

Это определение уже хорошо обобщается на произвольные R-линейные категории, где R произвольное коммутативное кольцо.

Пусть CC R-линейная категория. Тогда определим новую категорию
Г^n CC
как категорию с такими же объектами, но хомы там будут равны
Г^n(Hom_C(c,c’)).

Есть некоторое каноническое спаривание
Г^n(M) Г^n(N) > Г^n(M N) ,
которое помогает определить композицию в этой категории.

Есть стандартное отображение
M > Г^nM,
которое помогает определить единичный морфизм. А ещё оно помогает определить функтор
CC > Г^n CC.

Тогда строго полиномиальный функтор степени n между R-линейными категориями
CC > DD
это по определению R-линейный функтор
Г^n CC > DD.

====================
Связь полиномиальных и строго полиномиальных

Если есть строго полиномиальный функтор
Г^n CC > DD,
его композиция со стандартным функтором CC–> Г^n CC оказывается полиномиальным функтором степени не больше n в обычном смысле.
Если для полиномиального функтора степени не выше n
F:CC–> DD
можно задать функтор
F’ : Г^n CC > DD
такой, что его композиция с CC > Г^n CC равна F, то мы говорим, что на F есть структура строго полиномиального функтора веса n.

На одном функторе может быть много разных строго полиномиальных структур. Например, если R=ℤ

===============
Строго полиномиальные функторы из категории к.п. проективных модулей.

Если R-модуль M конечно порождённый проективный, то Г^nM можно определить так же, как в случае векторных пространств: как инварианты симметрической группы в тензорной степени.

Обозначим через Proj категорию к.п. проективных модулей. Тогда, благодаря тому, что определение Г^n более простое, можно более явно думать о категории
Г^n Proj.
Оказывается хом в этой категории равен хому между тензорными степенями как модулями над симметрической группой
Г^n Hom(M,N)= Hom_{R[S_n]}(T^n(M),T^n(N)).

Сразу в качестве примера видим, что функтор тензорной степени
M > T^n(M)
строго полиномиален. И всякие его стандартные факторы строго полиномиальны.

А вот функтор Пасси нельзя сделать строго полиномиальным, кстати.

============================
Описания этих категорий

Нас больше всего интересуют фунторы из к.п. свободных абелевых групп в абелевы группы
fab > Ab

И категория полиномиальных функторов, и категория строго полиномиальных фунторов в этом случае эквивалентны категориям модулей над некоторыми конкретными кольцами.

В случае полиномиальных функторов это ещё называется категорией полиномиальных модулей. Или мы это называем диаграммами Бауэса. Например, категория квадратичных функторов fab > Ab эквивалентна категории пар абелевых групп вместе с гомоморфизмами
(A,B, p : B–> A, h: A > B)
такими, что
php=2p
hph=2h.
Есть обобщение этого факта и на случай категории полиномиальных функторов степени не больше n.

Категория строго полиномиальных функторов веса n эквивалентна модулям над алгеброй Шура S(n,n). В нашем случае это целочисленная версия алгебры Шура, а вообще более стандартно это над полем рассматривать и говорить о функторах на векторных пространствах.